Exemples pour factoriser

EXEMPLES d’apprentissage des différentes façons de mettre en facteur commun

FACTORISER :

1.  (x-5)²-7x(x-5)

    =(x-5)(x-5)-7x(x-5)

    =(x-5)[(x-5)-7x]

    =(x-5)(x-5-7x)

    =(x-5)(-6x-5) = - (x-5)(6x+5 = (5-x)(6x+5)

2.  (x+4)(1-2x)+(2x-1)(x-7)          on utilise :  (2x-1)= - (1-2x)

    =(x+4)(1-2x)+[-(1-2x)](x-7)

    =(x+4)(1-2x)-(1-2x)(x-7)

    =(1-2x)[(x+4)-(x-7)]

    =(1-2x)(x+4-x+7)

    =(1-2x)(11)

    =11(1-2x)

3.  4(x-3)²-(x-3)         « Le coup du 1 »               attention :  (x-3)² =(x-3) (x-3)       

    =4(x-3)(x-3)-(x-3)

    =(x-3)[4(x-3) - 1]

    =(x-3)[4x-12-1] = (x-3)(4x-13)

Le facteur commun est caché pour le faire apparaître il faut factoriser dans chaque terme de la somme.

4.  (4x+4)(x-5)-(x+1)(1-x)     

     =4(x+1)(x-5)-(x+1)(1-x)

     =(x+1)[4(x-5)-(1-x)]

     =(x+1)[4x-20-1+x]      =    (x+1)(5x-21)

 Factoriser en mélangeant les deux méthodes

5.  (4-x²)-(2x-4)(1-x)

     =(2-x)(2+x)-(2x-4)(1-x)

     =(2-x)(2+x)-2(x-2)(1-x)

     =(2-x)(2+x)+2(2-x)(1-x)

     =(2-x)[(2+x)+2(1-x)]

     =(2-x)(2+x+2-2x)

     =(2-x)(4-x) = (-2+x)(-4+x) = (x-2)(x-4)

6.  2x(1-2x)+2x-1          il faut mettre des parenthèses :    (2x-1) ;     2x n’est pas facteur commun

     =2x(1-2x)-(1-2x)

     =(1-2x)(2x-1) = - (2x-1) (2x-1) = -(2x-1)²

7.  4x²-2x(3x-1)

     =(2x)²-2x(3x-1)

     =2x[2x-(3x-1)]

     =2x(2x-3x+1)

     =2x(-x+1) = 2x(1-x)

8.  8x ³-12x² = 4x²(8x-3)

9.  (4x²-4x+1)-(1-2x)                      égalité remarquable : (4x²-4x+1) = (2x-1)²

=(2x-1)²-(1-2x)                              (1-2x) = - (2x-1)

=(2x-1)²+(2x-1)

=(2x-1)[(2x-1)+1]

=(2x-1)(2x) = 2x(2x-1)

10.  (x+1) (x-3) - (x-1) ²+x²          pas de facteur commun, pas d'égalité remarquable donc il faut développer

        =x²+x-3x-3-(x²-2x-1)+x² = x²-4 = (x-2)(x+2)

11.somme de trois termes

(x²-9)+2x(x-3)-9+6x-x²

=(x-3)(x+3)+2x(x-3)-(9-6x+x²)

=(x-3)(x+3)+2x(x-3)-(3-x)²           (3-x)²   = (x-3)²

=(x-3)(x+3)+2x(x-3)-(x-3)²

=(x-3)  [ (x+3)+2x-(x-3) ]

=(x-3)  ( x+3+2x-x+3 )

=(x-3)  ( 2x+6 ) =  2(x-3)  ( x+3 )

12. mise en évidence double

  x ² - 2x + 3x - 6

 =x(x-2)+3(x-2)

=(x-2)(x+3)

Application aux équations du second degré ou plus

Résoudre dans IR

R1. -2x(x+2)(1-3x)(x+3)² = 0        produit nul               -2x=0 ou (x+2)=0 ou (1-3x)=0 ou (x+3)=0

x=0 ou x= - 2 ou x=1/3 ou x= -3                 S={ -3 ;  -2 ; 0 ;  1/3 }

R2. 5(x²+5)(1/2-x)(x+3) = 0             

5=0  ou (x²+5)=0 ou (1/2-x)=0 ou (x+3)=0       5 ne peut pas être égal à 0 ; (x²+5) non plus

S={ -3  ;  1/2 }

R3. 2x(1-2x)+2x-1 = 0        factoriser  

     =2x(1-2x)-(1-2x)

     =(1-2x)(2x-1) = - (2x-1) (2x-1) = -(2x-1)²

R4. 16(1-2x)² = 4x²+4x+1    mettre 0 à droite

(4(1-2x))²-(4x²+4x+1)=0

(4(1-2x))²-(2x+1)²=0

[4(1-2x))-(2x+1)][4(1-2x))-(2x+1)]=0

(-10x+3)(-6x+5)=0

-10x+3=0 ou -6x+5=0

x=3/10 ou x= 5/6

S={3/10 ; 5/6 }

R5. (4x-3)² = (1-7x)²

(4x-3)² - (1-7x)² = 0

[(4x-3) - (1-7x) ] [(4x-3) + (1-7x) ] = 0

( 4x-3 – 1+7x ) ( 4x-3 + 1-7x ) = 0

( 11x-4 ) ( -3x-2 ) = 0  <=> ( 11x-4 )  = 0 ou  ( -3x-2 ) = 0  <=>  x=4/11 ou x=-2/3  S={ 4/11 ; - 2/3}

Un dernier exemple : -3(1-2x)(x+3) = (4x-2)(x+7)

-3(1-2x)(x+3)-(4x-2)(x+7)=0     Factoriser les petits facteurs

-3(1-2x)(x+3)-2(2x-1)(x+7)=0   prendre l'opposé de 2x-1

-3(1-2x)(x+3)+2(-2x+1)(x+7)=0 mettre (1-2x) en facteur

(1-2x)[-3(x+3)+2(x+7)]=0

(1-2x)(-x+5)=0

S={1/2 ; 5}